Вес тела. Сила реакции опоры. Сила натяжения нити. Формула сила натяжения троса. Определение сила натяжения Как найти модуль натяжения нити

В этой задаче необходимо найти отношение силы натяжения к

Рис. 3. Решение задачи 1 ()

Растянутая нить в этой системе действует на брусок 2, заставляя его двигаться вперед, но она также действует и на брусок 1, пытаясь препятствовать его движению. Эти две силы натяжения равны по величине, и нам как раз необходимо найти эту силу натяжения. В таких задачах необходимо упростить решение следующим образом: считаем, что сила является единственной внешней силой, которая заставляет двигаться систему трех одинаковых брусков, и ускорение остается неизменным, то есть сила заставляет двигаться все три бруска с одинаковым ускорением. Тогда натяжение всегда двигает только один брусок и будет равно mа по второму закону Ньютона. будет равно удвоенному произведению массы на ускорение, так как третий брусок находится на втором и нить натяжения должна уже двигать два бруска. В таком случае отношение к будет равно 2. Правильный ответ - первый.

Два тела массой и , связанные невесомой нерастяжимой нитью, могут без трения скользить по гладкой горизонтальной поверхности под действием постоянной силы (Рис. 4). Чему равно отношение сил натяжения нити в случаях а и б?

Выбор ответа: 1. 2/3; 2. 1; 3. 3/2; 4. 9/4.

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 2 ()

Рис. 5. Решение задачи 2 ()

На бруски действует одна и та же сила, только в разных направлениях, поэтому ускорение в случае «а» и случае «б» будет одним и тем же, так как одна и та же сила вызывает ускорение двух масс. Но в случае «а» эта сила натяжения заставляет двигаться еще и брусок 2, в случае «б» это брусок 1. Тогда отношение этих сил будет равно отношению их масс и мы получим ответ - 1,5. Это третий ответ.

На столе лежит брусок массой 1 кг, к которому привязана нить, перекинутая через неподвижный блок. Ко второму концу нити подвешен груз массой 0,5 кг (Рис. 6). Определить ускорение, с которым движется брусок, если коэффициент трения бруска о стол составляет 0,35.

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 3 ()

Записываем краткое условие задачи:

Рис. 7. Решение задачи 3 ()

Необходимо помнить, что силы натяжения и как векторы разные, но величины этих сил одинаковы и равны Точно также у нас будут одинаковы и ускорения этих тел, так как они связаны нерастяжимой нитью, хотя направлены они в разные стороны: - горизонтально, - вертикально. Соответственно, и оси для каждого из тел выбираем свои. Запишем уравнения второго закона Ньютона для каждого из этих тел, при сложении внутренние силы натяжения сократятся, и получим обычное уравнение, подставив в него данные, получим, что ускорение равно .

Для решения таких задач можно пользоваться методом, который использовался в прошлом веке: движущей силой в данном случае является результирующая внешних сил, приложенных к телу. Заставляет двигаться эту систему сила тяжести второго тела, но мешает движению сила трения бруска о стол, в этом случае:

Так как движутся оба тела, то движущая масса будет равна сумме масс , тогда ускорение будет равно отношению движущей силы на движущую массу Так можно сразу прийти к ответу.

В вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы и , закреплен блок. По поверхности плоскостей при коэффициенте трения 0,2 движутся бруски кг и , связанные нитью, перекинутой через блок (Рис. 8). Найти силу давления на ось блока.

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 4 ()

Выполним краткую запись условия задачи и поясняющий чертеж (рис. 9):

Рис. 9. Решение задачи 4 ()

Мы помним, что если одна плоскость составляет угол в 60 0 с горизонтом, а вторая плоскость - 30 0 с горизонтом, то угол при вершине будет 90 0 , это обычный прямоугольный треугольник. Через блок перекинута нить, к которой подвешены бруски, они тянут вниз с одной и той же силой, и действие сил натяжения F н1 и F н2 приводит к тому, что на блок действует их результирующая сила. Но между собой эти силы натяжения будут равны, составляют они между собой прямой угол, поэтому при сложении этих сил получается квадрат вместо обычного параллелограмма. Искомая сила F д является диагональю квадрата. Мы видим, что для результата нам необходимо найти силу натяжения нити. Проведем анализ: в какую сторону движется система из двух связанных брусков? Более массивный брусок, естественно, перетянет более легкий, брусок 1 будет соскальзывать вниз, а брусок 2 будет двигаться наверх по склону, тогда уравнение второго закона Ньютона для каждого из брусков будет выглядеть:

Решение системы уравнений для связанных тел выполняется методом сложения, далее преобразовываем и находим ускорение:

Это значение ускорения необходимо подставить в формулу для силы натяжения и найти силу давления на ось блока:

Мы выяснили, что сила давления на ось блока приблизительно равна 16 Н.

Мы рассмотрели различные способы решения задач, которые многим из вас пригодятся в дальнейшем, чтобы понять принципы устройства и работы тех машин и механизмов, с которыми придется иметь дело на производстве, в армии, в быту.

Список литературы

Тихомирова С.А., Яворский Б.М. Физика (базовый уровень) - М.: Мнемозина, 2012.
Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. - М.: Мнемозина, 2014.
Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика-9. - М.: Просвещение, 1990.

Домашнее задание

Каким законом мы пользуемся при составлении уравнений?
Какие величины одинаковы у тел, связанных нерастяжимой нитью?

Интернет-портал Bambookes.ru ( ).
Интернет-портал 10klass.ru ().
Интернет-портал Festival.1september.ru ().

Движение системы тел

Динамика: движения системы связанных тел.

Проецирование сил нескольких объектов.

Действие второго закона Ньютона на тела, которые скреплены нитью

Если ты, дружок, позабыл, как силушку проецировать, советую в своей головушке освежить.

А для тех, кто все помнит, поехали!

Задача 1. На гладком столе лежат два связанных невесомой и нерастяжимой ниткой бруска с массой 200 г левого и массой правого 300 г. К первому приложена сила 0,1 Н, к левому - в противоположном направлении сила 0,6 Н. С каким ускорением движутся грузы?

Движение происходит только на оси X.

Т.к. к правому грузу приложена большая сила, движение данной системы будет направлено вправо, поэтому направим ось так же. Ускорение у обоих брусков будет направлено в одну сторону - сторону большей силы.

Сложим верхнее и нижнее уравнение. Во всех задачах, если нет каких-то условий сила натяжения у разных тел одинакова T₁ и Т ₂.

Выразим ускорение:

Ответ: 1 м/с²

Задача 2. Два бруска, связанные нерастяжимой нитью, находятся на горизонтальной плоскости. К ним приложены силы F₁ и F₂, составляющие с горизонтом углы α и β. Найти ускорение системы и силу натяжения нити. Коэффициенты трения брусков о плоскость одинаковы и равны μ. Силы F₁ и F₂ меньше силы тяжести брусков. Система движется влево.

Cистема движется влево, однако ось можно направить в любую сторону (дело лишь в знаках, можете поэксперментировать на досуге). Для разнообразия направим вправо, против движения всей системы, мы же любим минусы! Спроецируем силы на Ох (если с этим сложности - ).

По II з. Ньютона спроецируем силы обоих тел на Ох:

Сложим уравнения и выразим ускорение:

Выразим натяжение нити. Для этого приравняем ускорение из обоих уравнений системы:

Задача 3 . Через неподивжный блок перекинуты нить, к которой подвешены три одинаковых груза (два с одной стороны и один с другой) массой 5 кг каждый. Найти ускорение системы. Какой путь пройдут грузы за первые 4 с движения?

В данной задаче можно представить, что два левых груза скреплены вместе без нити, это избавит нас от проецирования взаимно равных сил.

Вычтем из первого уравнения второе:

Зная ускорение и то, что начальная скорость равна нулю, используем формулу пути для равноускоренного движения:

Ответ: 26,64 м

Задача 4. Два груза массами 4 кг и 6 кг соединены легкой нерастяжимой нитью. Коэффициенты трения между грузом и столом μ = 0,2. Определите ускорение, с которым будут двигаться грузы.

Запишем движение тел на оси, из Oy найдем N для силы трения (Fтр = μN):

(Если сложно понять, какие уравнения понадобятся для решения задачи, лучше запишите все)

Сложим два нижних уравнения для того, чтобы T сократилось:

Выразим ускорение:

Ответ: 2,8 м/с²

Задача 5. На наклонной поскости с углом наклона 45° лежит брускок массой 6 кг. Груз массой 4 кг присоединен к бруску при помощи нити и перекинут через блок. Определите натяжение нити, если коэффициент трения бруска о плоскость μ = 0,02. При каких значениях μ система будет в равновесии?

Ось направим произвольно и предположим, что правый груз перевешивает левый и поднимает его вверх по наклонной плоскости.

Из уравнения на ось Y выразим N для силы трения на ось Х (Fтр = μN):

Решим систему, взяв уравнение для левого тела по оси Х и для правого тела по оси Y:

Выразим ускорение, чтобы осталась одна неизвестная T, и найдем ее:

Система будет в равновесии. Это означает, что сумма всех сил, действующих на каждое из тел, будет равна нулю:

Получили отрицательный коэффициент трения, значит, движение системы мы выбрали неверно (ускорение, силу трения). Можно это проверить, подставив силу натяжения нити Т в любое уравнение и найдя ускорение. Но ничего страшного, значения остаются теми же по модулю, но противоположными по направлению.

Значит, правильное направление сил должно выглядить так, а коэффициент трения, при котором система будет в равновесии, равен 0,06.

Ответ: 0,06

Задача 6. На двух наклонных плоскостях находится по грузу массами 1 кг. Угол между горизонталью и плоскостями равен α = 45° и β = 30°. Коэффициент трения у обеих плоскостей μ = 0,1. Найдите ускорение, с которым движутся грузы, и силу натяжения нити. Каким должно быть отношение масс грузов, чтобы они находились в равновесии.

В данной задаче уже потребуются все уравнения на обе оси для каждого тела:

Найдем N в обоих случаях, подставим их в силу трения и запишем вместе уравнения для оси Х обоих тел:

Сложим уравнения и сократим на массу:

Выразим ускорение:

Подставив в любое уравнение найденное ускорение, найдем Т:

А теперь одолеем последний пункт и разберемся с соотношением масс. Сумма всех сил, действующих на любое из тел, равна нулю для того, чтобы система находилась в равновесии:

Сложим уравнения

Все, что с одной массой, перенесем в одну часть, все остальное - в другую часть уравнения:

Получили, что отношение масс должно быть таким:

Однако, если мы предположим, что система может двигаться в другом направлении, то есть правый груз будет перевешивать левый, направление ускорения и силы трения изменится. Уравнения останутся такими же, а вот знаки будут другими, и тогда отношение масс получится таким:

Тогда при соотношении масс от 1,08 до 1,88 система будет находиться в покое.

У многих может сложиться впечатление, что соотношение масс должно быть каким-то конкретным значением, а не промежутком. Это правда, если отстутвует сила трения. Чтобы уравновешивать силы тяжести под разными углами, найдется только один варинт, когда система находится в покое.

В данном же случае сила трения дает диапазон, в котором, пока сила трения не будет преодолена, движения не начнется.

Ответ: от 1,08 до 1,88

Задача 10048

Блок, имеющий форму диска массой m = 0,4 кг, вращается под действием силы натяжения нити, к концам которой подвешены грузы массами m 1 = 0,3 кг и m 2 = 0,7 кг. Определить силы натяжения Т 1 и T 2 нити по обе стороны блока.

Задача 13144

На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 5 см и массой М = 10 кг намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 1 кг. Определить: 1) зависимость s(t), согласно которой движется груз; 2) силу натяжения нити Т; 3) зависимость φ(t), согласно которой вращается вал; 4) угловую скорость ω вала через t = 1 с после начала движения; 5) тангенциальное (а τ) и нормальное (а n) ускорения точек, находящихся на поверхности вала.

Задача 13146

Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой m = 0,2 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами m 1 = 0,35 кг и m 2 = 0,55 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определите: 1) ускорение груза; 2) отношение T 2 /T 1 сил натяжения нити.

Задача 40602

На полый тонкостенный цилиндр массы m намотана нить (тонкая и невесомая). Свободный конец ее прикреплен к потолку лифта, движущегося вниз с ускорением а л. Цилиндр предоставлен сам себе. Найти ускорение цилиндра относительно лифта и силу натяжения нити. Во время движения нить считать вертикальной.

Задача 40850

Груз массой 200 г вращают на нитке длинной 40 см в горизонтальной плоскости. Чему равна сила натяжения нити,если груз делает 36 оборотов за одну минуту.

Задача 13122

В воздухе на шелковой нити подвешен заряженный шарик массой m = 0,4 г. Снизу подносят к нему на расстояние r = 2 см разноименный и равный по величине заряд q. В результате этого сила натяжения нити Т увеличивается в n = 2,0 раза. Найти величину заряда q.

Задача 15612

Найти отношение модуля силы натяжения нити математического маятника в крайнем положении с модулем силы натяжения нити конического маятника; длины нитей, массы грузиков и углы отклонения маятников одинаковы.

Задача 16577

Два маленьких одинаковых шарика массой 1 мкг каждый подвешены на нитях одинаковой длины и соприкасаются. Когда шарики зарядили, они разошлись на расстояние 1 см, а сила натяжения нити стала равной 20 нН. Найти заряды шариков.

Задача 19285

Установить закон, согласно которому меняется со временем сила натяжения F нити математического маятника. Маятник колеблется по закону α = α max cosωt, масса его m, длина l .

Задача 19885

На рисунке изображены заряженная бесконечная плоскость с поверхностной плоскостью заряда σ = 40 мкКл/м 2 и одноименно заряженный шарик с массой m = l г и зарядом q = 2,56 нКл. Сила натяжения нити, на которой висит шарик, равна...

1. Гиря массой 5 кг подвешена к потолку на двух одинаковых веревках, прикрепленных к потолку в двух разных точках. Нити образуют угол a = 60° друг с другом (см. рис.). Найдите силу натяжения каждой нити.

2. (д) Ёлочный шарик подвешен к горизонтально расположенной ветке на двух одинаковых нитках, прикрепленных к ветке в двух разных точках. Нити образуют угол a = 90° друг с другом. Найдите массу шарика, если сила натяжения каждой нитки равна 0,1 Н.

3. Большая железная труба подвешена за концы к крюку крана на двух одинаковых тросах, образующих угол 120° друг с другом (см. рис.). Сила натяжения каждого троса 800 Н. Найдите массу трубы.

4. (д) Бетонную балку массой 400 кг, подвешенную за концы к крюку на двух тросах, башенный кран поднимает вверх с ускорением 3 м/с 2 , направленным вверх. Угол между тросами составляет 120°. Найдите силу натяжения тросов.

5. К потолку на нити подвешен груз массой 2 кг, к которому, на другой нити, подвешен груз массой 1 кг (см. рис.). Найдите силу натяжения каждой из нитей.

6. (д) К потолку на нити подвешен груз массой 500 г, к которому, на другой нити, подвешен еще один груз. Сила натяжения нижней нити равна 3 Н. Найдите массу нижнего груза и силу натяжения верхней нити.

7. Груз массой 2,5 кг поднимают на нити с ускорением 1 м/с 2 , направленным вверх. К этому грузу, на другой нити, подвешен второй груз. Сила натяжения верхней нити (т.е. за которую тянут вверх) составляет 40 Н. Найдите массу второго груза и силу натяжения нижней нити.

8. (д) Груз массой 2,5 кг опускают на нити с ускорением 3 м/с 2 , направленным вниз. К этому грузу, на другой нити, подвешен второй груз. Сила натяжения нижней нити составляет 1 Н. Найдите массу второго груза и силу натяжения верхней нити.

9. Через неподвижный блок, прикрепленный к потолку, перекинута невесомая и нерастяжимая нить. К концам нити подвешены грузы массами m 1 = 2 кг и m 2 = 1 кг (см. рис.). В какую сторону и с каким ускорением движется каждый из грузов? Какова сила натяжения нити?

10. (д) Через неподвижный блок, прикрепленный к потолку, перекинута невесомая и нерастяжимая нить. К концам нити подвешены грузы. Масса первого груза m 1 = 0,2 кг. Он движется вверх с ускорением 3 м/с 2 . Какова масса второго груза? Какова сила натяжения нити?

11. Через неподвижный блок, прикрепленный к потолку, перекинута невесомая и нерастяжимая нить. К концам нити подвешены грузы. Масса первого груза m 1 = 0,2 кг. Он движется вверх, увеличивая скорость от 0,5 м/с до 4 м/с за 1 с. Какова масса второго груза? Какова сила натяжения нити?

12. (д) Через неподвижный блок, прикрепленный к потолку, перекинута невесомая и нерастяжимая нить. К концам нити подвешены грузы массами m 1 = 400 г и m 2 = 1 кг. Их удерживают в состоянии покоя, а затем отпускают. С каким ускорением движется каждый из грузов? Какое расстояние пройдет каждый из них за 1 с движения?

13. Через неподвижный блок, прикрепленный к потолку, перекинута невесомая и нерастяжимая нить. К концам нити подвешены грузы массами m 1 = 400 г и m 2 = 0,8 кг. Их удерживают в состоянии покоя на одном уровне, а затем отпускают. Каким будет расстояние между грузами (по высоте) через 1,5 с после начала движения?

14. (д) Через неподвижный блок, прикрепленный к потолку, перекинута невесомая и нерастяжимая нить. К концам нити подвешены грузы. Масса первого груза m 1 = 300 г. Грузы удерживают в состоянии покоя на одном уровне, а затем отпускают. Через 2 с после начала движения разность высот, на которых находятся грузы, достигла 1 м. Какова масса m 2 второго груза и каково ускорение грузов?

Задачи на конический маятник

15. Маленький шарик массой 50 г, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити длиной 1 м, совершает движение по окружности в горизонтальной плоскости. Нить составляет с вертикалью угол 30°. Какова сила натяжения нити? Какова скорость движения шарика?

16. (д) Маленький шарик, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити длиной 1 м, совершает движение по окружности в горизонтальной плоскости. Нить составляет с вертикалью угол 30°. Какова угловая скорость движения шарика?

17. Шарик массой 100 г совершает движения по окружности радиусом 1 м, будучи подвешенным на невесомой и нерастяжимой веревке длиной 2 м. Какова сила натяжения веревки? Какой угол с вертикалью составляет веревка? Какова скорость движения шарика?

18. (д) Шарик массой 85 г совершает движения по окружности радиусом 50 см, будучи подвешенным на невесомой и нерастяжимой веревке длиной 577 мм. Какова сила натяжения веревки? Какой угол с вертикалью составляет веревка? Какова угловая скорость движения шарика?

Раздел 17.

Вес тела, сила реакции опоры и невесомость.

1. Человек массой 80 кг находится в лифте, движущемся с ускорением 2,5 м/с 2 , направленным вверх. Каков вес человека в лифте?

2. (д) Человек находится в лифте, движущемся с ускорением 2 м/с 2 , направленным вверх. Какова масса человека, если его вес составляет 1080 Н?

3. Балку массой 500 кг опускают на тросе с ускорением 1 м/с 2 , направленным вниз. Каков при этом вес балки? Какова сила натяжения троса?

4. (д) Циркового акробата поднимают вверх на канате с ускорением 1,2 м/с 2 , направленным также вверх. Какова масса акробата, если сила натяжения каната равна 1050 Н? Каков вес акробата?

5. Если лифт движется с ускорением, равным 1,5 м/с 2 , направленным вверх, то вес человека, находящегося в лифте, равен 1000 Н. Каким будет вес человека, если лифт будет двигаться с таким же ускорением, но направленным вниз? Какова масса человека? Каков вес этого человека в неподвижном лифте?

6. (д) Если лифт движется с ускорением, направленным вверх, то вес человека в лифте составляет 1000 Н. Если же лифт движется с таким же, по модулю, ускорением, но направленным вниз, то вес человека составляет 600 Н. Каково ускорение лифта и какова масса человека?

7. Человек массой 60 кг поднимается в лифте, движущемся равноускоренно вверх. Покоившийся лифт за 2 с набрал скорость 2,5 м/с. Каков вес человека при этом?

8. (д) Человек массой 70 кг поднимается в лифте, движущемся равноускоренно вверх. Покоившийся лифт за 2 с прошел расстояние 4 м. Каков вес человека при этом?

9. Радиус скругления выпуклого моста равен 200 м. По мосту движется автомобиль массой 1 т со скоростью 72 км/час. Каков вес автомобиля в верхней точке моста?

10. (д) Радиус скругления выпуклого моста равен 150 м. По мосту движется автомобиль массой 1 т. Его вес в верхней точке моста составляет 9500 Н. Какова скорость автомобиля?

11. Радиус скругления выпуклого моста равен 250 м. По мосту движется автомобиль со скоростью 63 км/час. Его вес в верхней точке моста составляет 20000 Н. Какова масса автомобиля?

12. (д) По выпуклому мосту движется автомобиль массой 1 т со скоростью 90 км/час. Вес автомобиля в верхней точке моста составляет 9750 Н. Каков радиус кривизны выпуклой поверхности моста?

13. Трактор массой 3 т въезжает на горизонтальный деревянный мост, который прогибается под действием тяжести трактора. Скорость трактора равна 36 км/час. Вес трактора в самой нижней точки прогиба моста составляет 30500 Н. Каков радиус скругления поверхности моста?

14. (д) Трактор массой 3 т въезжает на горизонтальный деревянный мост, который прогибается под действием тяжести трактора. Скорость трактора равна 54 км/час. Радиус скругления поверхности моста равен 120 м. Каков вес трактора?

15. Деревянный горизонтальный мост может выдержать нагрузку 75000 Н. Масса танка, который должен проехать по мосту, 7200 кг. С какой скоростью может двигаться танк по мосту, если при этом мост прогибается так, что радиус скругления моста составляет 150 м?

16. (д) Длина деревянного моста 50 м. Грузовик, движущийся с постоянной по модулю скоростью, проезжает мост за 5 с. При этом максимальный прогиб моста таков, что радиус скругления его поверхности равен 220 м. Вес грузовика в середине моста составляет 50 кН. Какова масса грузовика?

17. Автомобиль движется по выпуклому мосту, радиус кривизны которого 150 м. При какой скорости движения автомобиля водитель почувствует невесомость? Что еще он почувствует (если, конечно, водитель - нормальный человек)?

18. (д) Автомобиль движется по выпуклому мосту. Водитель машины почувствовал, что в самой верхней точке моста при скорости 144 км/час машина теряет управление? Почему это происходит? Каков радиус кривизны поверхности моста?

19. Космический корабль стартует вверх с ускорением 50 м/с 2 . Какую перегрузку испытывают космонавты в корабле?

20. (д) Космонавт может выдержать десятикратную кратковременную перегрузку. Каким в это время должно быть направленное вверх ускорение космического корабля?

В технике встречается еще один вид растянутых элементов, при определении прочности которых важное значение имеет собственный вес. Это так называемые гибкие нити. Таким термином обозначаются гибкие элементы в линиях электропередач, в канатных дорогах, в висячих мостах и других сооружениях.

Пусть (Рис.1) имеется гибкая нить постоянного сечения, нагруженная собственным весом и подвешенная в двух точках, находящихся на разных уровнях. Под действием собственного веса нить провисает по некоторой кривой АОВ.

Горизонтальная проекция расстояния между опорами (точками ее закрепления), обозначаемая , носит название пролета.

Нить имеет постоянное сечение, следовательно, вес ее распределен равномерно по ее длине. Обычно провисание нити невелико по сравнению с ее пролетом, и длина кривой АОВ мало отличается (не более чем на 10%) от длины хорды АВ . В этом случае с достаточной степенью точности можно считать, что вес нити равно- мерно распределен не по ее длине, а по длине ее проекции на горизонтальную ось, т. е. вдоль пролета l .

Рис.1. Расчетная схема гибкой нити.

Эту категорию гибких нитей мы и рассмотрим. Примем, что интенсивность нагрузки, равномерно распределенной по пролету нити, равна q . Эта нагрузка, имеющая размерность сила/длина , может быть не только собственным весом нити, приходящимся на единицу длины пролета, но и весом льда или любой другой нагрузкой, также равномерно распределенной. Сделанное допущение о законе распределения нагрузки значительно облегчает расчет, но делает его вместе с тем приближенным; если при точном решении (нагрузка распределена вдоль кривой) кривой провисания будет цепная линия, то в приближенном решении кривая провисания оказывается квадратной параболой.

Начало координат выберем в самой низшей точке провисания нити О , положение которой, нам пока неизвестное, очевидно, зависит от величины нагрузки q , от соотношения между длиной нити по кривой и длиной пролета, а также от относительного положения опорных точек. В точке О касательная к кривой провисания нити, очевидно, горизонтальна. По этой касательной направим вправо ось .

Вырежем двумя сечениями в начале координат и на расстоянии от начала координат (сечение m n ) часть длины нити. Так как нить предположена гибкой, т. е. способной сопротивляться лишь растяжению, то действие отброшенной части на оставшуюся возможно только в виде силы, направленной по касательной к кривой провисания нити в месте разреза; иное направление этой силы невозможно.

На рис.2 представлена вырезанная часть нити с действующими на нее силами. Равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q направлена вертикально вниз. Воздействие левой отброшенной части (горизонтальная сила Н ) направлено, ввиду того, что нить работает на растяжение, влево. Действие правой отброшенной части, сила Т , направлено вправо по касательной к кривой провисания нити в этой точке.

Cоставим уравнение равновесия вырезанного участка нити. Возьмем сумму моментов всех сил относительно точки приложения силы Т и приравняем ее нулю. При этом учтем, опираясь на приведенное в начале допущение, что равнодействующая распределенной нагрузки интенсивностью q будет , и что она приложена посредине отрезка . Тогда

Рис.2. Фрагмент вырезанной части гибкой нити

Отсюда следует, что кривая провисания нити является параболой. Когда обе точки подвеса нити находятся на одном уровне, то Величина в данном случае будет так называемой стрелой провисания. Ее легко определить. Так как в этом случае, ввиду симметрии, низшая точка нити находится посредине пролита, то ; подставляя в уравнение (1) значения и получаем:

Величина Н называется горизонтальным натяжением нити.

и натяжение H , то по формуле (2) найдем стрелу провисания . При заданных и натяжение Н определяется формулой (3). Связь этих величин с длиной нити по кривой провисания устанавливается при помощи известной из математики приближенной формулы)

Составим еще одно условие равновесия вырезанной части нити, а именно, приравняем нулю сумму проекций всех сил на ось :

Из этого уравнения найдем силу Т натяжение в произвольной точке

Откуда следует, что сила Т увеличивается от низшей точки нити к опорам и будет наибольшей в точках подвеса там, где касательная к кривой провисания нити составляет наибольший угол с горизонталью. При малом провисании нити этот угол не достигает больших значений, поэтому с достаточной для практики степенью точности можно считать, что усилие в нити постоянно и равно ее натяжению Н . На эту величину обычно и ведется расчет прочности нити. Если все же требуется вести расчет на наибольшую силу у точек подвеса, то для симметричной нити ее величину определим следующим путем. Вертикальные составляющие реакций опор равны между собой и равны половине суммарной нагрузки на нить, т. е. . Горизонтальные составляющие равны силе Н , определяемой по формуле (3). Полные реакции опор получатся как геометрические суммы этих составляющих:

Условие прочности для гибкой нити, если через F обозначена площадь сечения, имеет вид:

Заменив натяжение Н его значением по формуле (3), получим:

Из этой формулы при заданных , , и можно определить необходимую стрелу провисания . Решение при этом упростится, если в включен лишь собственный вес; тогда , где вес единицы объема материала нити, и

т. е. величина F не войдет в расчет.

Если точки подвеса нити находятся на разных уровнях, то, подставляя в уравнение (1) значения и , находим и :

Отсюда из второго выражения определяем натяжение

а деля первое на второе, находим:

Имея в виду, что , получаем:

Подставив это значение в формулу определенного натяжения Н , окончательно определяем:

Два знака в знаменателе указывают на то, что могут быть две основные формы провисания нити. Первая форма при меньшем значении Н (знак плюс перед вторым корнем) дает нам вершину параболы между опорами нити. При большем натяжении Н (знак минус перед вторым корнем) вершина параболы расположится левее опоры А (Рис.1). Получаем вторую форму кривой. Возможна и третья (промежуточная между двумя основными) форма провисания, соответствующая условию ; тогда начало координат совмещается с точкой А . Та или иная форма будет получена в зависимости от соотношений между длиной нити по кривой провисания АОВ (Рис.1) и длиной хорды АВ .

Если при подвеске нити на разных уровнях неизвестны стрелы провисания и , но известно натяжение Н , то легко получить значения расстояний а и b и стрел провисания, и . Разность h уровней подвески равна:

Подставим в это выражение значения и , и преобразуем его, имея в виду, что :

а так как то

Следует иметь в виду, что при будет иметь место первая форма провисания нити, при вторая форма провисания и при третья форма. Подставляя значения и в выражения для стрел провисания и , получаем величины и :

Теперь выясним, что произойдет с симметричной нитью, перекрывающей пролет , если после подвешивания ее при температуре и интенсивности нагрузки температура нити повысится до а нагрузка увеличится до интенсивности (например, из-за ее обледенения). При этом предположим, что в первом состоянии задано или натяжение , или стрела провисания (Зная одну из этих двух величин, всегда можно определить другую.)

При подсчете деформации нити, являющейся по сравнению с длиной нити малой величиной, сделаем два допущения: длина нити "равна ее пролету, а натяжение постоянно и равно Н . При пологих нитях эти допущения дают небольшую погрешность.

Статьи по теме